Bulletin Officiel  de l'Education Nationale  N°46 du 10 décembre
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ENS DE FONTENAY-SAINT-CLOUD
Programme des épreuves du concours d'admission en 3ème année
NOR : MENR9802871A
RLR : 441-0c
ARRETÉ DU 4-11-1998
JO DU 13-11-1998
MEN
DR C2

Vu D. n° 85-789 du 24-7-1985 ; D. n° 87-696 du 26-8-1987 ; A. du 15 -10-1997 ; Avis du CNESER du 19-10-1998

Article 1 - Le programme des épreuves du concours d'admission en troisième année à l'École normale supérieure de Fontenay - Saint-Cloud est fixé conformément à l'annexe ci-jointe.

Article 2 - Le directeur de la recherche est chargé de l'exécution du présent arrêté, qui sera publié au Journal officiel de la République française.

Fait à Paris, le 4 novembre 1998
Pour le ministre de l'éducation nationale, de la recherche et de la technologie
et par délégation,
Le directeur de la recherche
Daniel NAHON

Annexe

PROGRAMME DES ÉPREUVES DU CONCOURS D'ADMISSION EN TROISIEME ANNÉE À L'ENS
DE FONTENAY - SAINT-CLOUD

Durée des épreuves : 1 heure de préparation et 30 minutes devant le jury.

1 - Épreuves communes

1.1 Interrogation sur un sujet général à orientation épistémologique et pluridisciplinaire sur les sciences de l'homme et de la société.

Elle consiste dans un exposé de 20 minutes (temps de préparation 1 heure), suivi de questions sur cet exposé (10 minutes). Le candidat a le choix entre trois sujets, tirés au sort dans chacun des groupes de questions suivants :

a) Les grandes théories physiques et biologiques modernes (par exemple : la physique newtonienne ; la théorie de l'évolution ; la relativité ; la tectonique des plaques et la dérive des continents) ; les grands tournants des sciences de la nature depuis l'Antiquité.

b) Les grandes théories des sciences humaines et sociales modernes (par exemple, le contractualisme ; l'interactionnisme; le culturalisme ; le structuralisme ; le monétarisme) ; les grands tournants des sciences humaines et sociales depuis l'Antiquité.

c) Les grandes notions de la philosophie des sciences : empirisme et rationalisme ; réalisme ; conventionnalisme et nominalisme ; prévoir et décrire ; expliquer et comprendre ; la notion de cause ; la notion de formalisme ; la notion de règle ; la notion de science empirique.

1.2 Langue vivante étrangère 1 : explication en langue vivante étrangère d'un texte contemporain relatif à la civilisation d'une aire linguistique.

L'épreuve orale de langue vivante prend appui sur un texte en langue étrangère d'une longueur de deux pages maximum ayant un caractère général, scientifique ou technique relevant des sciences humaines et sociales.

Elle évalue la capacité du candidat, dans cette langue étrangère, à :

a) maîtriser et à rendre compte du contenu et de la structure argumentative de ce texte.

b) repérer les références culturelles qui y sont présentes et à expliciter la spécificité du contexte historique, social et intellectuel dans lequel ce texte se situe.

1.3 Épreuve de spécialité : interrogation portant sur la spécialité du candidat à partir des travaux effectués par celui-ci et permettant d'évaluer ses potentialités et sa culture dans son domaine de compétence.

Pas de programme.

2 - Épreuves à options

2.1 Langue vivante étrangère 2

Même type d'épreuve que pour la langue vivante 1.

2.2 Interrogation de mathématiques

L'épreuve vise à s'assurer d'une solide culture mathématique de base. Le candidat devra maîtriser et savoir mettre en œuvre dans des exercices les notions détaillées dans le programme de mathématiques de terminale scientifique (sous tous ses aspects) et dans le programme ci-dessous. Il devra, de plus, être capable de montrer qu'il dispose des outils mathématiques couramment utilisés au niveau maîtrise dans la spécialité dans laquelle il souhaite orienter ses recherches (telle qu'anthropologie/ethnologie, didactique et sciences de l'éducation, histoire et philosophie des sciences, psychologie et sciences cognitives, etc.)

A - ALGEBRE LINÉAIRE

Le corps de base est l'ensemble des nombres réels ou complexes. Sur les nombres complexes sont à connaître en particulier : les règles élémentaires de calcul, les notations Re (z), Im(z), , le module et l'argument d'un produit, l'inégalité triangulaire, la résolution de l'équation du second degré à coefficients réels et de l'équation zⁿ = a, l'affixe d'un point et d'un vecteur.

1- Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels. Applications linéaires, noyau, image ; isomorphisme.

Espaces vectoriels de dimension finie ; bases, rang d'une application linéaire ; somme directe de sous-espaces, sous-espaces supplémentaires.

2 - Calcul matriciel

Matrices à n lignes et p colonnes ; opérations sur les matrices ; matrice transposée. Matrices carrées d'ordre n ; matrices inversibles.

Matrice d'une application linéaire ; effet d'un changement de base(s), matrices équivalentes, matrices semblables.

3 - Systèmes d'équations linéaires

Systèmes de Cramer, lien avec le calcul de l'inverse d'une matrice carrée.

Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice carrée. Méthode du pivot de Gauss.

4 -Valeurs propres et vecteurs propres

Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres d'un endomorphisme (ou d'une matrice carrée).

B - ANALYSE

1 - Suites et séries de nombres réels

Les propriétés usuelles de R doivent être connues.

Suites de nombres réels. Suites monotones.

Suites définies par une relation de récurrence u_n+1 = f(u_n).

Convergence d'une série. Somme. Séries à termes positifs, comparaison de deux séries.

Séries à termes réels. Convergence absolue.

2 - Continuité, dérivation

a) Fonctions numériques d'une variable réelle

Notion de limite. Théorèmes sur les limites.

Continuité d'une fonction. Propriétés des fonctions continues sur un intervalle.

Fonctions monotones. Fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle.

b) Notion de dérivée

Calcul des dérivées, dérivée d'une fonction composée, d'une fonction réciproque. Fonction dérivée, dérivées d'ordre supérieur.

c) Théorème des accroissements finis. Sens de variation d'une fonction dérivable. Graphe

3 - Fonctions usuelles

Fonctions polynômes, fonctions rationnelles.
Fonctions circulaires et circulaires réciproques.
Fonctions logarithmiques et exponentielles
Fonctions puissances. Fonctions , formules de Moivre et d'Euler.

Comparaison de fonctions pour x tendant vers l'infini.

4 - Intégration

a) Définition et propriétés de l'intégrale d'une fonction continue, lien avec les primitives. Inégalité de la moyenne.

b) Intégration d'une fonction continue : convergence, convergence absolue.

c) Calcul de primitives et d'intégrales. Changement de variable, intégration par parties.

d) Equations différentielles. Équations différentielles linéaires à coefficients constants, du premier et deuxième ordre, avec second membre.

5 - Méthodes d'approximation

a) Approximation locale des fonctions. Formule de Taylor-Young. Développements limités.

b) Comparaison d'une série et d'une intégrale. Séries de Riemann.

6 - Fonctions de plusieurs variables

a) Fonctions numériques de plusieurs variables ; dérivées partielles. Théorème de Schwarz.

b) Différentielles.

c) Fonctions homogènes. Théorème d'Euler.

d) Conditions nécessaires (du premier ordre) pour un extremum libre. Extrema liés dans le cas d'une contrainte linéaire.

C - ANALYSE COMBINATOIRE, PROBABILITÉS ET STATISTIQUES

1 - Analyse combinatoire.

2 - Notion d'espace probabilisé.

3 - Probabilités conditionnelles.

Formule de Bayes. Indépendance.

4 - Variables aléatoires.

Notions de lois de probabilités et de densité de probabilité.

Variables aléatoires usuelles, discrètes et à densité.

Paramètres de position, dispersion et forme.

5 - Couples de variables aléatoires

6 - Statistiques descriptives

Représentations graphiques et caractéristiques usuelles.

7 - Statistique inférentielle

Loi faible des grands nombres et théorème de la limite centrale.

Échantillonnage. Estimation ponctuelle et notion d'estimateur. Intervalles de confiance.

Notion de Test. Tests de Student et du .

2.3 Interrogation d'informatique

L'interrogation d'informatique, épreuve à option (sur un choix de trois épreuves dont les deux autres sont mathématiques ou langue vivante étrangère 2) a pour but de sélectionner des candidats ayant de solides connaissances de base et susceptibles de s'engager dans des recherches qui nécessitent leur mise en œuvre et leur développement (notamment linguistique et informatique).

Il ne s'agit pas, comme dans le cas des mathématiques de tester une culture générale, mais de vérifier la capacité de mettre en œuvre une compétence technique précise.

A - ARCHITECTURE DES MACHINES ET SYSTÈMES D'EXPLOITATION

1 - Circuits logiques

Portes logiques, algèbre de Boole.

Circuits combinatoires : décodeurs, multiplexeurs, comparateurs. Circuits de calcul : décaleur, demi-additionneur, additionneur. Structure d'une unité arithmétique et logique. Circuits à mémoire : bascules RS, bascule D. Structure d'une mémoire. Structure d'un ordinateur.

2 - Microprogrammation

Architecture d'une micromachine, chemin des données, structure et exécution des micro-instructions, interprétation du langage machine.

3 - Interruptions et entrées-sorties

Commutations de contexte, interruptions : niveaux et traitements. Structure des bus, principe des entrées-sorties.

4 - Processus

État d'un processus, représentation interne d'un processus par un bloc de contrôle.

Modèles de représentation des processus : graphes et automates finis.

Interactions de processus, problème du blocage : conditions nécessaires de blocage, méthodes de prévention, algorithme de détection, méthode d'évitement : algorithme du banquier.

Synchronisation de processus : problème de l'exclusion mutuelle, solutions logicielles.

Sémaphores, utilisation des sémaphores pour résoudre des problèmes classiques de synchronisation : le problème de l'exclusion mutuelle, le problème du producteur et du consommateur, le problème du lecteur et du rédacteur

B - LOGIQUE

Formules logiques, interprétation d'une formule, validité d'une formule, notion de modèle. Classification des formules logiques, calcul propositionnel et calcul des prédicats du premier ordre. Théorèmes de complétude, de compacité et de finitude.

Formes normales prénexe, conjonctive et disjonctive, théorème de Herbrand.

Déduction naturelle, méthode de résolution et algorithme d'unification.

Éléments de programmation logique.

C - ALGORITHMIQUES ET STRUCTURES DE DONNÉES

1 - Algorithmes

Notion d'algorithme, complexité d'un algorithme au sens du nombre d'opérations, exemples de calculs de complexité.

2 - Structures de données classiques et algorithmes élémentaires

Listes, ensembles, arbres, graphes et leurs implantations.

Méthodes de parcours des arbres et des graphes : parcours en profondeur et en largeur. Fermeture transitive, recherche des composantes connexes d'un graphe.

Arbres de recouvrement minimum d'un graphe, complexité.

3 - Algorithmes de recherche

Recherche séquentielle, recherche dichotomique, arbres binaires de recherche : analyse du nombre de comparaisons.

Arbres AVL : adjonction et suppression, rééquilibrage.

Principe des méthodes de hachage, résolution des collisions par chaînage : chaînage séparé, hachage coalescent ; résolution des collisions par calcul : hachage linéaire et double hachage.

4 - Algorithmes de tri

Tri par sélection, tri par insertion, tri rapide, tri par tas.

Complexité des algorithmes de tri : optimalité de la borne en O(n log 2n) pour les tris par comparaison.

D - THÉORIES DES LANGAGES ET COMPILATION

1 - Langages

Structure de monoïde, monoïde libre, mots sur un alphabet, équations sur les mots.

Langages, systèmes de réécriture, grammaires et classification de Chomsky.

2 - Langages rationnels

Expressions rationnelles et langages rationnels.

Automates finis et langages reconnaissables, lemme de l'étoile et théorème de Kleene.

Automates finis non déterministes, algorithme de déterminisation.

Algorithme de minimisation d'un automate fini.

Propriétés de fermeture de la famille des langages rationnels.

3 - Langages algébriques

Grammaires algébriques (ou non-contextuelles), arbres de dérivation, simplification des grammaires algébriques, forme normale de Greibach.

Automates à piles et langages algébriques, lemme d'itération.

Propriétés de fermeture de la famille des langages algébriques.

4 - Analyse lexicale et analyse syntaxique

Rôle de l'analyse lexicale, spécification et reconnaissance des unités lexicales, utilisation d'automates finis déterministes pour l'analyse lexicale. Chaînes de Markov.

Rôle de l'analyse syntaxique, utilisation d'une grammaire pour l'analyse syntaxique.

Analyse descendante, analyse par descente récursive, grammaires LL(k).

Analyse ascendante, décalage et réduction, grammaires LR(k).

Analyse syntaxique stochastique.

5 - Compilation

Méthodes de traduction, contrôle de type, environnement d'exécution et production de code à partir de graphes acycliques.

E - CALCULABILITÉ

1 -Fonctions récursives, machines de Turing et I-calcul

Ensembles partiellement ordonnés, treillis, fonctions monotones, fonctions continues, opérateur de point fixe.

Machines de Turing déterministes et non-déterministes, machines à registres, langages récursifs et récursivement énumérables.

Fonctions calculables par une machine de Turing, fonctions récursives et primitives récursives.

Lambda-calcul, b-conversion, théorème de Church-Rosser, représentation des fonctions récursives, équivalence avec le modèle des machines de Turing, théorèmes de point fixe.

2 - Décidabilité

Langages et problèmes indécidables : exemple du problème de l'arrêt d'une machine de Turing. Techniques de réduction.

Propriétés de décidabilité des langages rationnels et algébriques.

3 - NP-complétude

Problèmes polynomiaux, définition de la classe P.

Transformations polynomiales, problèmes polynomialement équivalents.

Complexité des machines de Turing non déterministes, définition de la classe NP.

Problèmes NP-complets, théorème de Cook, autres exemples de problèmes NP-complets.